Funcion Logaritmica

¿QUÉ ES UN LOGARITMO?

Es la función inversa de la función exponencial de base a, de manera que el numero y tal que ay = x, recibe el nombre de logaritmo, en base a del numero "X"

El concepto de logaritmo se debe al suizo Jorst Bürgi y su nombre tiene un significado muy explicativo: logaritmo significa “número para el cálculo”. El escocés John Napier(en la foto) enseguida lo aprovechó para publicar en 1614 su obra “Mirifici logaithmorum canonis descriptio” (descripción de la maravillosa regla de los logaritmos) con las primeras tablas de logaritmos para el seno y el coseno de un ángulo a intervalos de 1’ y con siete cifras. Pero veamos cuál fue su genial idea.

La idea clave: trabajar con los exponentes de potencias es más fácil

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como 

f (x) = logax, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1.

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial.

La función logarítmica de base "a" ( a>0  y distinto de 1) es la función inversa de la función exponencial de base "a".

El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número.

Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 103 = 10×10×10.

CARACTERISTICAS:

No existe el logaritmo de un número negativo.

No existe el logaritmo de cero

El logaritmo de 1 es cero.

El logaritmo en base a de a es uno.

El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.

LOGARITMOS DECIMALES

Los logaritmos decimales son aquellos cuya base es 10 , son los más comunes para operar, y se representan como log x=y

LOGARITMOS NEPEARIANOS O NATURALES

Los logaritmos naturales o logaritmos neperianos son los que tienen base e. Se representan por ln (x) o L(x).

Los logaritmos neperianios deben su nombre a su descubridor John Neper y fueron los primeros en ser utilizados

El logaritmo neperiano de x (ln x) es la potencia a la que se debe elevar e para obtener x.

ln 1 = 0           e0 = 1

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

1.    El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores: (producto)

Ejemplo

2.    El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor: cociente

Ejemplo

3.    El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base: potencia

Ejemplo

4.    El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz: raíz

Ejemplo

5.    Cambio de base:

Ejemplo

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS

Dominio:  R +

Recorrido: R

Es contInua.

Los puntos (1, 0) y (a, 1) pertenecen a la gráfica.

Es inyectiva (ninguna imagen tiene más de un original).

Creciente si a>1.

Decreciente si a<1.

REPRESENTACIÓN LOGARÍTMICA

Una representación logarítmica es una representación gráfica de una función o de un conjunto de valores numéricos, en la que el eje de abscisas y el eje de ordenadas tienen escala logarítmica. o semi curvas lineales

Si la representación se hace manualmente, se emplea papel logarítmico,1 que posee la escala con las marcas adecuadas para este tipo de representaciones. Se emplean logaritmos decimales, de base 10.

SU USO

Los datos que siguen una variación similar a una función potencial, y=a·xn, o aquella serie de datoscuyo rango abarca varios órdenes de magnitud son apropiados para una representación logarítmica. Por ello, este tipo de representación es muy usada en ciencias e ingeniería.

Cualquier conjunto de datos que pueda ajustarse a la expresión  podrá representarse en forma de línea recta,

  si usamos representación logarítmica ya que ambas expresiones son equivalentes.

GRÁFICAS

Las gráfica de la función logarítmica es simétrica (respecto a la directriz del 1er y 3er cuadrante) de la gráfica de la función exponencial, ya que son funciones reciprocas o inversas entre sí.

EJEMPLOS

APLICACIONES DE LOS LOGARITMOS

Los logaritmos hoy ya no son necesarios para hacer grandes cálculos; gracias a la microelectrónica es posible hacerlos de forma instantánea con la calculadora o el ordenador. Sin embargo, durante siglos de uso, los logaritmos dejaron su huella en las Matemáticas y aún hoy es necesario que los conozcas; pero ahora ya no para calcular, sino para utilizarlos como concepto asociado a muchas situaciones. En particular, son útiles las escalas logarítmicas (entre ellas, la Escala de Richter).